Energy Preserving Schemes for Nonlinear Hamiltonian Systems of Wave Equations . Application to the Vibrating Piano String

The problem of the vibration of a string is well known in its linear form, describing the transversal motion of a string, nevertheless this description does not explain all the observations well enough. Nonlinear coupling between longitudinal and transversal modes seams to better model the piano string, as does for instance the “geometrically exact model” (GEM). This report introduces a general class of nonlinear systems, “nonlinear hamiltonian systems of wave equations”, in which fits the GEM. Mathematical study of these systems is lead in a first part, showing central properties (energy preservation, existence and unicity of a global smooth solution, finite propagation velocity . . . ). Space discretization is made in a classical way (variational formulation) and time discretization aims at numerical stability using an energy technique. A definition of “preserving schemes” is introduced, and we show that explicit schemes or partially implicit schemes which are preserving according to this definition cannot be built unless the model is linear. A general energy preserving second order accurate fully implicit scheme is built for any continuous system that fits the nonlinear hamiltonian systems of wave equations class. Key-words: preserving schemes, energy, non linear systems of wave equations, piano string ∗ EPI POEMS † [email protected] ‡ [email protected] in ria -0 04 44 47 0, v er si on 1 6 Ja n 20 10 Schémas numériques préservant une énergie pour les systèmes hamiltoniens non linéaires d’équations d’ondes. Application à la corde de piano. Résumé : Le problème de vibration de corde est bien connu dans sa forme linéaire, où il décrit le mouvement transversal d’une corde. Cependant, cette description ne rend pas bien compte des observations. Un couplage non linéaire entre les modes transversal et longitudinal semble mieux adapté pour décrire la vibration d’une corde de piano, comme le fait par exemple le “modèle géométriquement exact” (MGE). Ce rapport introduit une classe générale de systèmes, les “systèmes hamiltoniens non linéaires d’équations d’ondes”, dans laquelle entre le MGE. Dans une première partie, une étude mathématique de ces systèmes est menée, où l’on montre quelques propriétés essentielles (conservation d’une énergie, existence et unicité d’une solution gobale régulière, vitesse de propagation finie . . . ). La discrétisation en espace suit une méthode classique (formulation variationnelle) et la discrétisation en temps est menée de telle façon à atteindre la stabilité numérique grâce à une technique d’énergie. On introduit une définition de “schéma conservatif” et l’on montre que des schémas explicites ou partiellement implicites ne peuvent être conservatifs selon cette définition que si le modèle est linéaire. Un schéma numérique général, préservant l’énergie, précis à l’ordre deux, entièrement implicite, est donné pour n’importe quel système continu appartenant à la classe des systèmes hamiltoniens non linéaires d’équations d’ondes. Mots-clés : schémas conservatifs, énergie, systèmes hamiltoniens non linéaires d’équations d’ondes, corde de piano in ria -0 04 44 47 0, v er si on 1 6 Ja n 20 10 Energy Preserving Schemes for Non Linear Hamiltonian Systems of Waves Equations 3